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Volumen integrales dobles ejercicios resueltos

Volumen integrales dobles ejercicios resueltos
Así como la integral de una función de una variable representa el área (con signo) de la región bajo la gráfica de esa función, la integral de una función de dos variables sobre una región representa el volumen del espacio que queda entre la gráfica (tridimensional) de la función y el plano en el que la dibujamos. La integral en una cierta región de una función de dos variables se llama la integral doble.

Integrales dobles

Sea z=f(x;y) una función definida, continua y limitada en una región R del plano.

Consideremos un punto arbitrario Pk dentro de cada subdivisión de una partición P y dejemos que f(Pk) sea el valor de la función en ese punto.

Llamaremos con el nombre de productos interiores a la suma o suma de Riemann correspondiente a la función f(x;y) y a una partición P,a:

Si hiciéramos nuevas particiones de la región R, más y más refinadas de tal manera que 0 aumentaría el número de partes.

Si el límite de esta suma existe, cuando 0 lo llamaremos integral doble de la función z= f(x;y) en la región R y lo representaremos por:

R se denomina dominio de integración

Propiedades de la integral doble

Descomposición con respecto de la región de integración: si la región R se descompone en R1 y R2/R1R2= y R1 R2=R

  • Propiedad de homogeneidad:

Siendo C = constante y f (x;y)integrable en R

  • Descomposición con respecto al integrando:

siendo f(x;y) y g(x;y) son integrables sobre la región R

  • Propiedad de monotonía:

si f(x;y) y g(x;y) son integrables en R y

Volumen integrales dobles ejercicios resueltos

Determinar el volumen del sólido acotado por arriba por el cilindro parabólico z = x 2 y por debajo por la región del plano xy encerrada por la parábola y = 2 − x 2 y la recta y = x.

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La región del plano encerrada por la parábola y = 2 - x 2 y la línea y = x

  • D es una región de tipo I y también de tipo II.
  • En este caso, consideraremos a D como una región de tipo I. Los puntos de intersección entre la línea y = x y la parábola y = 2 - x 2 son necesarios para definir la región D.
  • Al reemplazar y = x en la ecuación de la parábola queda x = 2 - x 2 , que tiene 2 soluciones:

x = 1 y x = -2. Como y = x, los puntos de intersección son (1, 1) y (-2, -2). Entonces D = {(x, y) : -2 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2 - x 2}, y evaluamos las siguientes integrales iteradas:

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