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Composition of functions

Composition of functions
Si se nos dan dos funciones, podemos crear otra función componiendo una función en la otra. Los pasos necesarios para realizar esta operación son similares a cuando se resuelve cualquier función para un valor determinado. Tales funciones se denominan funciones compuestas. Una función compuesta es generalmente una función que se escribe dentro de otra función.

Composition of functions

La composición de una función se realiza sustituyendo una función por otra. Por ejemplo, f [g (x)] es la función compuesta de f (x) y g (x). La función compuesta f [g (x)] se lee como "f de g de x". La función g (x) se denomina función interna y la función f (x) se denomina función externa. Por lo tanto, también podemos leer f [g (x)] como "la función g es la función interna de la función externa f".

¿Cómo resolver las funciones compuestas?

Resolver una función compuesta significa, encontrar la composición de dos funciones. Utilizamos un pequeño círculo (∘) para la composición de una función. Aquí están los pasos para resolver una función compuesta:

Reescribir la composición en una forma diferente.
Por ejemplo

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x²) = f [g (x²)]

Sustituir la variable x que está en la función exterior por la función interior.

Simplifica la función.

Nota: El orden en la composición de una función es importante porque (f ∘ g) (x) NO es lo mismo que (g ∘ f) (x).

Ejemplos de Composition of functions

Veamos los siguientes problemas:

  • Dadas las funciones f (x) = x2 + 6 y g (x) = 2x - 1, encontrar (f ∘ g) (x).
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Solución

Sustituye x por 2x - 1 en la función f(x) = x2 + 6.
(f ∘ g) (x) = (2x - 1)2 + 6 = (2x - 1) (2x - 1) + 6

Aplicar la Lámina
= 4x2 - 4x + 1 + 6
= 4x2 - 4x + 7

  • Dadas las funciones g (x) = 2x - 1 y f (x) = x2 + 6, encontrar (g ∘ f) (x).

Solución

Sustituir x por x2 + 6 en la función g (x) = 2x - 1
(g ∘ f) (x) = 2(x2 + 6) - 1

Utiliza la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.
= 2x2 + 12 – 1
= 2x2 + 11

  • Dado que f (x) = 2x + 3, encontrar (f ∘ f) (x).

Solución

(f ∘ f) (x) = f[f(x)]

= 2(2x + 3) + 3

= 4x + 9

  • Encuentra (g ∘ f) (x) dado que, f (x) = 2x + 3 y g (x) = -x2 + 5

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x)]

Sustituir x en g(x) = -x2 + 5 por 2x + 3
= – (2x + 3)2 + 5
= - (4x2 + 12x + 9) + 5
= -4x2 - 12x - 9 + 5
= -4x2 - 12x - 4

 

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