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Función derivable

Función derivable
Diremos que una función f(x) definida en un entorno A de la línea real es derivable en un punto a perteneciente a A si y sólo si la función derivada existe en ese punto. Diremos que la función f(x) es derivable en el intervalo A cuando es derivable en todos los puntos de A.

Función derivable

El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia, una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede ser aproximada al menos hasta el primer orden por una aplicación relacionada.

Sin embargo, la formulación rigurosa de esta idea intuitiva es algo más complicada y requiere conocimientos de álgebra lineal. Cabe señalar que aunque una función de varias variables admite derivadas parciales en función de cada una de sus variables, ello no implica necesariamente que sea una función diferenciable.

Derivabilidad de una función

Si una función f es derivable en un punto , entonces f es continua en .

Lo recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en ese punto.

Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos saber las siguientes definiciones sobre las derivadas laterales.

Si f es una función continua definida en , entonces:

  • La derivada por la derecha, que se denota , se define por la igualdad: , siempre que el límite exista.
  • La derivada por la izquierda, denotada , se define por la igualdad: , siempre que el límite exista.

Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que  existe si y solo si existen las derivadas laterales y ambas son iguales.

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Así:

 

Ejemplo de Función derivable

  • Consideremos la función $f$ definida por: 

Vamos a determinar si f es continua en 1 y si  existe.

Para lo primero tenemos que:

 existe pues 

Como ,y  entonces   

Luego f es continua en  pues 

Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

Como  entonces  no existe.

Luego, se ha comprobado que aunque f es continua en  se tiene que f no es derivable en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que en  la gráfica de f tiene un "pico", siendo precisamente en  donde no es derivable la función.

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