Límites que tienden a infinito
Los límites infinitos son aquellos en los que las imágenes f(x) aumentan o disminuyen sin límite cuando x se aproxima a un valor de a.
Tipos de limites que tienden a infinito
Límite infinito
Caso 1:
limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 hay δ > 0 / para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) > A.
El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para toda la x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, hay un entorno reducido de a donde la función vale más que A, significa que f(x) puede hacerse más grande que cualquier número, siempre y cuando x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.
lim f(x) = +inf cuando x->a
Caso 2:
limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 hay δ > 0 / para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) < -A.
lim f(x) = -inf cuando x->a
Caso 3:
limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 hay B > 0 / para todo x > B f(x) > A
lim f(x) = +inf cuando x->+inf
Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir, f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.
Caso 4
limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 hay B > 0 / para todo x > B f(x) < -A
lim f(x) = -inf cuando x->+inf
Caso 5:
limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 hay B > 0 / para todo x < -B f(x) > A
lim f(x) = +inf cuando x->-inf
Caso 6:
limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 hay B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A
lim f(x) = -inf cuando x->-inf
Caso 7:
limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 hay B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece a Eb,ε.
lim f(x) = b cuando x->+inff
Caso 8:
limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 hay B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece a Eb,ε.
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