Integrales dobles
Sea z=f(x;y) una función definida, continua y limitada en una región R del plano.
Consideremos un punto arbitrario Pk dentro de cada subdivisión de una partición P y dejemos que f(Pk) sea el valor de la función en ese punto.
Llamaremos con el nombre de productos interiores a la suma o suma de Riemann correspondiente a la función f(x;y) y a una partición P,a:
Si hiciéramos nuevas particiones de la región R, más y más refinadas de tal manera que 0 aumentaría el número de partes.
Si el límite de esta suma existe, cuando 0 lo llamaremos integral doble de la función z= f(x;y) en la región R y lo representaremos por:
R se denomina dominio de integración
Propiedades de la integral doble
Descomposición con respecto de la región de integración: si la región R se descompone en R1 y R2/R1R2= y R1 R2=R
- Propiedad de homogeneidad:
Siendo C = constante y f (x;y)integrable en R
- Descomposición con respecto al integrando:
siendo f(x;y) y g(x;y) son integrables sobre la región R
- Propiedad de monotonía:
si f(x;y) y g(x;y) son integrables en R y
Volumen integrales dobles ejercicios resueltos
Determinar el volumen del sólido acotado por arriba por el cilindro parabólico z = x 2 y por debajo por la región del plano xy encerrada por la parábola y = 2 − x 2 y la recta y = x.
La región del plano encerrada por la parábola y = 2 - x 2 y la línea y = x
- D es una región de tipo I y también de tipo II.
- En este caso, consideraremos a D como una región de tipo I. Los puntos de intersección entre la línea y = x y la parábola y = 2 - x 2 son necesarios para definir la región D.
- Al reemplazar y = x en la ecuación de la parábola queda x = 2 - x 2 , que tiene 2 soluciones:
x = 1 y x = -2. Como y = x, los puntos de intersección son (1, 1) y (-2, -2). Entonces D = {(x, y) : -2 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2 - x 2}, y evaluamos las siguientes integrales iteradas:
Contenido