División exacta de los polinomios
Consideremos estos dos polinomios, uno como dividendo D(x), y el otro como divisor d(x):
En una división exacta de polinomios, el resto es igual a cero.
Dividir el polinomio D(x) por el polinomio d(x) es encontrar otro cociente polinomio c(x) tal que multiplicado por el divisor da el dividendo:
En este caso se dice que la división es exacta y que el dividendo D(x) es un múltiplo del divisor d(x) y del cociente c(x). También se dice que d(x) y c(x) son divisores del polinomio D(x).
División entera de los polinomios
Consideremos estos dos polinomios, uno como un dividendo D(x), y el otro como un divisor d(x):
En una división entera de polinomios, el resto es distinto de cero.
En las divisiones enteras (o inexactas), el dividendo D(x) no es un múltiplo del divisor d(x), y la propiedad fundamental de la división siempre se cumplirá:
Propiedad fundamental de la división
El grado del polinomio restante R(x) siempre es inferior al grado del polinomio divisor d(x).
La división de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, cada monomio del polinomio se divide por el monomio, hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor.
Para comprobar que la división está bien hecha, miramos si la propiedad fundamental de la división se cumple:
Ejemplo:
D(x)=2x2+x–2 d(x)=x
Ahora vemos que se verifica la propiedad fundamental de la división:
D(x)=d(x)⋅c(x)+R(x D(x)=2x2+x–2 d(x)⋅c(x)+R(x)=x⋅(2x+1)–2=(2x2+x)–2=2x2+x–2
El grado de la relación es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor:
División de un polinomio por otro polinomio
Consideremos estos dos polinomios:
D(x)=x4–2x3–11x2+30x–20⇒Dividendo d(x)=x2+3x–2⇒Divisor
Para dividir D(x) por d(x), proceda de la siguiente manera:
Coloca los polinomios como en la división de los números y ordenados de forma creciente.
El primer monomio del dividendo se divide por el primer monomio del divisor. El resultado se coloca en el cociente.
El cociente se multiplica por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:
(x2+3x–2)⋅x2=x4+3x3–2x2
Como tenemos que restar x4+3x3+2x2 del dividendo, añadimos lo contrario:
–(x4+3x3–2x2)=–x4–3x3+2x2
Baje el siguiente término, 30x , y divida, como en el párrafo 2, el primer monomio del dividendo (-5x³) por el primer monomio del divisor (x²)
-5x3÷x2=-5x y colocar -5x en la proporción
Multiplica -5x por el divisor (x² + 3x - 2) y el producto obtenido se resta del dividendo:
(x2+3x–2)⋅(−5x)=−5x3–15x2+10x
Como tenemos que restar -5x³ - 15x² + 10x del dividendo, añadimos lo contrario:
–(−5x3–15x2+10x)=5x3+15x2–10x
Bajar el último término, -20, y dividir, como en los párrafos 2 y 4, el primer monomio del dividendo (6x²) por el primer monomio del divisor (x²)
6x² ÷ x² = 6, y coloca 6 en la proporción:
Multiplica 6 por el divisor y el producto obtenido se resta del dividendo:
(x2+3x–2)⋅6=6x2+18x–12
Como este polinomio debe ser restado del dividendo, añadimos lo contrario:
−(6x2+18x–12)=–6x2–18x+12
Como 2x no puede ser dividido por x², la división está terminada.
Entonces obtenemos que el cociente polinómico es:
c(x)=x2-5x+6
y el descanso polinómico es:
R(x)=2x-8
Lo comprobamos:
Grado c(x) = grado D(x) - grado d(x)
Grado c(x) = 4 - 2 =2
y eso:
D(x)=d(x)⋅c(x)+R(x) D(x)=(x2+3x–2)⋅(x2–5x+6)+(2x–8)=x4–2x3–11x2+30x–20
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