Ejercicios de racionalización

En matemáticas, la racionalización radical es un proceso en el que una expresión, que es una fracción con una raíz en el denominador, se transforma en una fracción equivalente sin raíz en el denominador . También se conoce como racionalización de una fracción con raíz en el denominador, que consiste en operar para eliminar los radicales del denominador de una fracción. Para ello, el numerador y el denominador se multiplican por otra expresión de manera que al operar se elimina la raíz del denominador. Cabe señalar que la expresión a racionalizar puede tener la raíz con un índice superior a dos (por ejemplo, raíz cúbica), la cantidad subradical puede ser un monomio, un binomio, etc., y que la expresión equivalente obtenida puede tener o no raíces en el numerador.

Racionalización de un monomio

Para racionalizar un monomio de este tipo, el numerador y el denominador de la fracción deben multiplicarse por la raíz del denominador cuya raíz se eleva hasta la diferencia entre el índice y el exponente. En el siguiente caso:

<img decoding="async" class="aligncenter" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79c2aead97de30156dd80bb08d4fde301cdfeea" alt="" width="31" height="49" aria-hidden="true" />

hay que multiplicar numerador y denominador por $<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b78ccdb7e18e02d4fc567c66aac99bf524acb5f" alt="" width="25" height="23" aria-hidden="true" />$ :

$<img decoding="async" class="aligncenter" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af2b6a974b1b6ae24c58c146a14222e047c526e" alt="" width="156" height="59" aria-hidden="true" />$

$Entonces la raíz cuadrada del denominador se despeja como la cantidad subradical que es 5 al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:$

<img decoding="async" class="aligncenter" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6eb8ab688d9dc8c4a28f59f546e08aa03750676" alt="" width="186" height="59" aria-hidden="true" />

También hay que tener en cuenta todas las propiedades para resolver los problemas más fácilmente.

Hay que tener cuidado al realizar operaciones entre los radicales, porque si tienes uno.

<img decoding="async" class="aligncenter" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7501dbed6e6208c891d627afda3873e9e20e1995" alt="" width="33" height="49" aria-hidden="true" />

Al racionalizar, se debería multiplicar por

<img decoding="async" class="aligncenter" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbe503900b7e9f910a4cb9f45d09426151b7568" alt="" width="33" height="55" aria-hidden="true" />

y aquí existe el riesgo de "sobresimplificar", olvidando que en general $<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcd13ea9453fca59273646e653d2a5e544de9f6" alt="" width="115" height="29" aria-hidden="true" />$ , para llegar a:

<img decoding="async" class="aligncenter" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0fbd02a718f4ba3f30d8fecad339e8c23aa353" alt="" width="42" height="55" aria-hidden="true" />

que es incorrecto, pues

<img decoding="async" class="aligncenter" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e210d357f19574d5e40df2deaa39f3ec07e20adb" alt="" width="42" height="57" aria-hidden="true" />

es en realidad la forma correcta.

Entrada Relacionada: Cómo sacar el perímetro de un circulo

Con un ejemplo se ve claramente que $<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcd13ea9453fca59273646e653d2a5e544de9f6" alt="" width="115" height="29" aria-hidden="true" />$ . Tomemos $<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f2b353db7dfc28d1d80b789ffc2e4a63c3a2a0" alt="" width="59" height="19" aria-hidden="true" />$ :

<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db25ed66d1137a02e973ea58e422b08409d2550" alt="" width="543" height="43" aria-hidden="true" />

donde hemos hecho uso de la unidad imaginaria i.

Racionalización de binomio

Para racionalizar un binomio, es necesario hacer un proceso similar al del ejercicio anterior, multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador de la fracción. En el siguiente ejemplo:

<img decoding="async" class="aligncenter" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6f60aa2c3cf6893a04e23279304b6b35ad49b5" alt="" width="79" height="49" aria-hidden="true" />

hay que multiplicar el numerador y el denominador por $<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96746c8e6f89caec2586e9daa76569f265a30436" alt="" width="72" height="24" aria-hidden="true" />$ ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6f60aa2c3cf6893a04e23279304b6b35ad49b5" alt="" width="79" height="49" aria-hidden="true" />

<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5813ebdaca70b9d6a44f9dc509fcabd4e4c8e7fc" alt="" width="79" height="55" aria-hidden="true" />

<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df2068f7dc901e5fac4ff96c22d01e4345bf771" alt="" width="103" height="60" aria-hidden="true" />

<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df2068f7dc901e5fac4ff96c22d01e4345bf771" alt="" width="103" height="60" aria-hidden="true" />

<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5206b8cc1e217f86767b445f4b3f783a8126e9" alt="" width="103" height="49" aria-hidden="true" />

<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d9895813753268f250b78c01428365f4e8d8fb" alt="" width="103" height="49" aria-hidden="true" />

<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231cb4d49add0927d43f08abbb2929da18f6f32c" alt="" width="111" height="25" aria-hidden="true" />

El caso general de un binomio con dos raíces cuadradas también es fácilmente resoluble:

$<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3dcfe807957d13d54992342d2920402676c21f" alt="" width="447" height="55" aria-hidden="true" />$

Más complicada es la racionalización de un trinomio:

$<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08118b41934d65505032f1e2beeaa09f6699c58" alt="" width="524" height="57" aria-hidden="true" />$