Blog

Base de un espacio vectorial ejemplos

Base de un espacio vectorial ejemplos
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que son capaces de generar cualquier vector de ese espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.

Base de un espacio vectorial

Sea F un campo. Un espacio vectorial sobre el campo F es un conjunto V con operaciones de suma y producto por escalar, que denotaremos por:

  

para el cual se cumplen las ocho propiedades de la sección anterior. En otras palabras:

  • El conjunto V es un grupo de conmutación con la suma
  • Tenemos asociatividad para la suma escalar y la suma vectorial
  • Tienes la identidad y la compatibilidad de la multiplicación escalar.

A los elementos de F les llamamos escalares. A los elementos de  les llamamos vectores. Para hacer restas, las definimos como , donde  es el inverso aditivo de  con la suma vectorial. Usualmente omitiremos el signo de producto escalar, así que escribiremos  en vez de  para a escalar y  vector.

La definición da la impresión de que hay muchas cosas que deben ser verificadas. Estrictamente hablando, esto es cierto. Sin embargo, intuitivamente debemos pensar que los espacios aproximadamente vectoriales son estructuras en las que podemos sumar elementos y multiplicar los vectores por escalares (externos) sin que sea muy complicado.

Como ya mencionamos, el conjunto  con las operaciones de suma y multiplicación por escalar que se hacen entrada por entrada es un espacio vectorial sobre F. En lo que resta de la entrada, hablaremos de otros ejemplos de espacios vectoriales que nos encontraremos frecuentemente.

Base de un espacio vectorial ejemplos

Sea el campo con 2 elementos. Consideremos . Este es un espacio vectorial. Tiene 16 vectores de la forma , en donde cada entrada es () o 1. La suma y la multiplicación por escalar se hacen entrada a entrada y con las reglas de . Por ejemplo, tenemos

Entrada Relacionada:   Recta tangente y recta normal a una curva en un punto

  

Entradas Relacionadas