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Producto punto ejercicios resueltos

Producto punto ejercicios resueltos
El producto escalar de los vectores es un número real, obtenido multiplicando los respectivos componentes y sumándolos.

Producto Escalar

En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno o producto puntual, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (normalmente en forma de vectores) y devuelve un único número.

Algebraicamente, el producto puntual es la suma de los productos de las entradas correspondientes en dos secuencias numéricas.

Geométricamente, es el producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. El nombre del producto puntual se deriva del símbolo utilizado para denotar esta operación (" - "). El nombre del producto escalar alternativo destaca el hecho de que el resultado es un escalar en lugar de un vector (en el caso de los espacios tridimensionales).

Un producto escalar (o producto puntual o producto interno) de dos vectores A y B se denomina escalar y su valor será igual al producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que forman:

A ∙ B = |A| |B| cosθ

A · B = AxBx + AyBy + AzBz

 

PROPIEDADES

El producto escalar de un vector consigo mismo, siempre es positivo:

ζA = A ∙ A = |A|2 ≥ 0

Y sólo será nulo si A es un vector nulo. Por lo tanto:

|A| = √( A ∙ A ) = √ ζA

El producto escalar es conmutativo:

A ∙ B = B ∙ A

Ya que el ángulo entre los vectores es el mismo y la multiplicación entre escalares es conmutativa.

El producto escalar es distributivo:

A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C

La multiplicación por un escalar:

β ∙ (A ∙ B) = |β||A||B| cosθ

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(βA) ∙ (βB) = |βA||B| cosθ = |A||βB|cosθ

Del producto escalar surge el Teorema del Coseno:

C = A + B

C · C = (A + B) · (A + B)

|C|2 = |A|2 + |B|2 + 2|A||B| cosθ

Que no es otra cosa que el teorema del coseno.

Teorema del coseno

Diremos que dos vectores, no nulos, son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo (cero):

A ⊥ B → θ = π/2 → A ∙ B = |A||B| cosθ = 0

Producto punto ejercicios resueltos

Halla el producto vectorial entre los siguientes dos vectores:

Para encontrar el producto vectorial entre los dos vectores, debemos resolver el siguiente determinante 3×3:

En este caso, resolveremos el determinante por adjuntos o cofactores (aunque se podría usar la regla de Sarrus indistintamente):

De manera que el resultado del producto vectorial entre los dos vectores es:

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