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Concavidad de una función ejercicios resueltos

Concavidad de una función ejercicios resueltos
En geometría, la concavidad de una curva o una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de un círculo o una esfera, es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador. Es el concepto complementario al de convexidad.

Criterio de Concavidad

Si una función es convexa, entonces las pendientes de las líneas tangentes tienen una tendencia creciente, es decir, la f'(x) es creciente. Del mismo modo, si una función es cóncava, entonces las pendientes de las líneas tangentes tienen una tendencia decreciente, es decir, la  es decreciente.

Estas caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para determinar criterios sobre la concavidad de una función de la siguiente forma: Sea  una función definida en un intervalo , si para todo 

  • , entonces  es convexa.
  • , entonces f(x) es cóncava.

Esto se debe a que si la segunda derivada de una función es positiva, eso implica que la primera derivada está aumentando y por lo tanto, la función es convexa. Por otra parte, si la segunda derivada de una función es negativa, eso implica que la primera derivada es decreciente y por lo tanto, la función es cóncava. Sin embargo, encontramos puntos en los que la función deja de ser convexa para ser cóncava o; deja de ser cóncava para empezar a ser convexa, entonces nos preguntamos, ¿qué sucede en estos puntos?

Puntos de Inflexión

Los puntos en los que una función cambia de concavidad, se llamarán puntos de inflexión y estarán estrechamente relacionados con la segunda derivada de la función porque en estos puntos, la derivada de la función no aumenta ni disminuye. Los candidatos perfectos son los puntos  tales que .

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Sin embargo, sólo son candidatos porque no podemos garantizar su papel hasta que lo determinemos con precisión. Para ello, debemos estudiar el comportamiento de la función en los lados del punto en cuestión. Formalmente, es un punto de inflexión de  en un intervalo  si para todo 

  •  cuando  y  cuando .
  •  cuando  y  cuando .

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