Qué son los intervalos

Los intervalos se llaman a conjuntos de números reales cuyos elementos x se encuentran entre dos números a y b, que cumplen la condición a ≤ b. Se trata de números reales o representan una tendencia de crecimiento de forma positiva o negativa: simbolizados por +∞ o -∞.

Qué son los intervalos

Intuitivamente imaginamos un hilo fino y estirado, consideramos dos puntos donde cortamos el hilo: el trozo que obtenemos es la imagen de un intervalo finito, los puntos de corte pueden o no estar en el trozo. En el caso de tomar un solo punto y cortar, cualquiera de las piezas separadas es la imagen de un intervalo infinito, igual que el hilo entero.

Componentes

Extremos: a y b
Interior formado por los puntos x tal que a < x < b
Longitud es b-a
Punto medio m=(a+b)÷2

Clasificación de intervalos

Por la pertenencia de sus extremos

abiertos
cerrados
semiabiertos

Por la longitud

Finitos
Infinitos

Notaciones

Para los intervalos cerrados se usa []
Para los intervalos abiertos (), < >, ] [
Semiabiertos combinando los dos casos anteriores

Casos

[a, b] intervalo cerrado de longitud finita l = b - a. a ≤ x ≤ b.
[a, b[ o [a, b) intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto), de longitud finita l = b - a. a ≤ x < b.
]a, b] o (a, b] intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud finita l = b - a. a < x ≤ b.
]a, b[ o (a, b) intervalo abierto, de longitud finita l = b - a. a < x < b.
] - ∞, b[ o ( - ∞, b) intervalo abierto de longitud infinita. x < b.
] - ∞, b] o ( - ∞, b] intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. x ≤ b.
[a, +∞ [ intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. a ≤ x.
] a, + ∞ [ o (a, + ∞ ) intervalo abierto de longitud infinita. a < x.
] - ∞, + ∞ [ o ( - ∞, + ∞ ) o R, intervalo a la vez abierto y cerrado, de longitud infinita. x pertenece a R.
{a} intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. (corresponde al caso a = b). x = a
{} = ∅ el conjunto vacío, intervalo a la vez abierto y cerrado. x no existe.

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Operaciones conjuntas

Es posible hacer unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica de conjuntos.
Los resultados no son necesariamente conjuntos: <2, 5> unión <7,10> existe pero no es intervalo, lo mismo [1, 10] - [3, 7] es la unión de dos intervalos semi-abiertos. 1, > unión <7,10]

Usos

En el cálculo diferencial y el análisis matemático se utiliza el intervalo abierto que contiene el punto de acumulación, caso límite; o el punto donde se define la derivada.
Cualquier tipo de intervalo para definir o encontrar el dominio y codominio de una función variable real.
En el cálculo de integrales para encontrar el dominio de una integral definida, o los límites de integración
En la topología de línea habitual, el intervalo abierto se utiliza para definir el vecindario.
En otra topología se utiliza el intervalo semi-abierto.

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