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Qué son los intervalos

Qué son los intervalos
Los intervalos se llaman a conjuntos de números reales cuyos elementos x se encuentran entre dos números a y b, que cumplen la condición a ≤ b. Se trata de números reales o representan una tendencia de crecimiento de forma positiva o negativa: simbolizados por +∞ o -∞.

Qué son los intervalos

Intuitivamente imaginamos un hilo fino y estirado, consideramos dos puntos donde cortamos el hilo: el trozo que obtenemos es la imagen de un intervalo finito, los puntos de corte pueden o no estar en el trozo. En el caso de tomar un solo punto y cortar, cualquiera de las piezas separadas es la imagen de un intervalo infinito, igual que el hilo entero.

Componentes

  • Extremos: a y b
  • Interior formado por los puntos x tal que a < x < b
  • Longitud es b-a
  • Punto medio m=(a+b)÷2

Clasificación de intervalos

Por la pertenencia de sus extremos

  • abiertos
  • cerrados
  • semiabiertos

Por la longitud

  • Finitos
  • Infinitos

Notaciones

  • Para los intervalos cerrados se usa []
  • Para los intervalos abiertos (), < >, ] [
  • Semiabiertos combinando los dos casos anteriores

Casos

  • [a, b] intervalo cerrado de longitud finita l = b - a. a ≤ x ≤ b.
  • [a, b[ o [a, b) intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto), de longitud finita l = b - a. a ≤ x < b.
  • ]a, b] o (a, b] intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud finita l = b - a. a < x ≤ b.
  • ]a, b[ o (a, b) intervalo abierto, de longitud finita l = b - a. a < x < b.
  • ] - ∞, b[ o ( - ∞, b) intervalo abierto de longitud infinita. x < b.
  • ] - ∞, b] o ( - ∞, b] intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. x ≤ b.
  • [a, +∞ [ intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. a ≤ x.
  • ] a, + ∞ [ o (a, + ∞ ) intervalo abierto de longitud infinita. a < x.
  • ] - ∞, + ∞ [ o ( - ∞, + ∞ ) o R, intervalo a la vez abierto y cerrado, de longitud infinita. x pertenece a R.
  • {a} intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. (corresponde al caso a = b). x = a
  • {} = ∅ el conjunto vacío, intervalo a la vez abierto y cerrado. x no existe.
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Operaciones conjuntas

  • Es posible hacer unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica de conjuntos.
  • Los resultados no son necesariamente conjuntos: <2, 5> unión <7,10> existe pero no es intervalo, lo mismo [1, 10] - [3, 7] es la unión de dos intervalos semi-abiertos. 1, > unión <7,10]

Usos

  • En el cálculo diferencial y el análisis matemático se utiliza el intervalo abierto que contiene el punto de acumulación, caso límite; o el punto donde se define la derivada.
  • Cualquier tipo de intervalo para definir o encontrar el dominio y codominio de una función variable real.
  • En el cálculo de integrales para encontrar el dominio de una integral definida, o los límites de integración
  • En la topología de línea habitual, el intervalo abierto se utiliza para definir el vecindario.
  • En otra topología se utiliza el intervalo semi-abierto.

 

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