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Integración por partes ejercicios

Integración por partes ejercicios
Existen varios métodos de integración, todos los cuales consisten en reducir la integral deseada a una integral conocida, como una de las de la tabla, o reducirla a una integral más simple.

Integración por partes

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

Regla mnemotécnica: Un día vi una vaca menos flaca vestida con un uniforme (UDV = UV - FVDU)

Aunque este es un método simple, debe ser aplicado correctamente.

Método:

  • El integrando debe ser un producto de dos factores.
  • Uno de los factores será u y el otro será dv.
  • Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.
  • Se aplica la fórmula.

Cómo elegir la función a integrar y la función a derivar en el método de integración por partes

Escoger la U y el Dv correcto:

Una mala elección puede complicar aún más la integración.

Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo x3). Si consideramos dv = x3. Entonces, integrando tendremos que v = x4/4, por lo que hemos aumentado el grado del exponente y esto suele significar un paso atrás.

Normalmente, los monomios se eligen como u para reducir su exponente al derivarlos. Cuando el exponente es 0, el monomio es igual a 1 y el integrando es más fácil.

Algo similar ocurre con las fracciones (como 1/x). Si consideramos dv = 1/x, tendremos v = log|x| y, probablemente, obtendremos una integral más difícil.

Como regla general, llamaremos u a las potencias y logaritmos y dv a los exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas.

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No cambies la elección:

A veces tenemos que aplicar el método más de una vez para calcular la misma integral.

En estas integrales, al aplicar el método por n-ésima vez, tenemos que llamar u al resultado du del paso anterior y dv al resultado v. Si no lo hacemos así, como la elección de una u otra opción supone integrar o derivar, estaremos deshaciendo el paso anterior y no avanzaremos.

Integrales cíclicas:

A veces, después de aplicar dos veces la integración por partes, tenemos que despejar la propia integral de la igualdad obtenida para poder calcularla. Un ejemplo de esto es la Integral 10.

Ejercicios resueltos

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