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Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tenemos una incógnita menor que en la ecuación anterior.

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Hay varios métodos para resolver el sistema

  • Método Gauss: Tomamos la matriz extendida asociada al sistema y hacemos las transformaciones de filas necesarias para hacer la matriz de coeficientes triangulares, de ahí deducimos los valores de las variables.
  • Matriz inversa: Si expresamos el sistema en forma matricial AX=B y A es invertible, entonces donde X es la matriz de variables A la de coeficientes y B la de términos independientes. La condición necesaria es que exista el inverso de A
  • La regla de Cramer: El valor de la i-ésima variable se obtiene del cociente C/D, donde C es el determinante de la matriz de coeficientes donde la i-ésima columna se cambia a la columna de términos independientes y D es el determinante de la matriz de coeficientes.

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ejemplo

Estos sistemas pueden ser interpretados como un conjunto de tres planos en el espacio tridimensional real R3. En algunos casos no habrá solución, en otros habrá un infinito (una línea de puntos de solución) y en otros sólo habrá una solución.

Método de reducción

Para resolver este tipo de sistema se aplicará la reducción, de manera que cada ecuación tenga una desconocida menos que la anterior. Por lo tanto, se utilizará el método de Gauss.Resolver:
Resolver:

3x+2y+z=1
5x+3y+4z=2
x+y-z=1

1) El que tiene 1 o -1 como coeficiente de x se coloca como primera ecuación.

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Si no hay ninguna, la primera ecuación se coloca con y o z con un coeficiente de 1 o -1, y se cambia el orden de las variables. O también podemos dividir la primera ecuación por el coeficiente de x.

x+y-z=1
3x+2y+z=1
5x+3y+4z=2

2) El método de reducción se utiliza para las ecuaciones 1 y 2 (E1 y E2), con el fin de eliminar la variable x de la segunda ecuación:

E2′=E2-3⋅E1
3x+2y+z=1
+-3x-3y+3z=-3
-y+4z=-2

3) Repita el mismo procedimiento con E1 y E3, para eliminar la variable x de E3:

E3′=E3-5⋅E1
5x+3y+4z=2
+-5x-5y+5z=-5
-2y+9z=-3

4) Con las nuevas ecuaciones 2 y 3 (E2′ y E3′) se utiliza el mismo procedimiento para eliminar la variable y de E3′:

E3′′=E3′-2⋅E2′
-2y+9z=-3
+ 2y-8z=4
z=1
5) Así pues, el sistema de pasos equivalentes al de la declaración es

x+y-z=1
-y+4z=-2
z=1
6) Se resuelve desde la tercera ecuación a la primera:

E3:z=1

E2:-y+4=-2⇒y=6

E1:x+6-1=1⇒x=-4

Es decir, los tres planos cortados en un solo punto (-4,6,1).

 

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