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¿En qué puntos la función es continua y por qué?

¿En qué puntos la función es continua y por qué?

Una función es continua si su gráfico puede ser dibujado de un solo golpe. Diríamos que es continua si se puede dibujar sin separar el lápiz de la hoja de papel. Se dice que una función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que hay un salto y el gráfico se rompe.

Continuidad de una función en un punto

Se tiene una idea intuitiva de la función continua al considerar que su gráfico es continuo, en el sentido de que puede ser dibujado sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que una función es continua en un punto $x = a$ si se cumplen las siguientes tres condiciones:

Que el punto tenga imagen.

Es decir, debemos verificar que la función esté definida en el punto . En otras palabras, que pertenezca al dominio de f(x).

Que exista el límite de la función en el punto .

Si has estudiado límites, sabrás que el límite en el punto existe si tiene límites por la derecha y por la izquierda y estos valores son iguales.

Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Por último, es necesario que el valor de la imagen sea igual que el valor del límite.

Ejemplo de Continuidad de una función en un punto

Estudiar la continuidad de en

Imagen en

Por lo tanto la función sí tiene imagen en el punto $x=2$

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Límite en $x=2$

$\displaystyle \text{Limite por la izquierda} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \lim_{x\rightarrow 2^-}x^2= 2^2 =4$

$\displaystyle \text{Limite por la derecha} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \lim_{x\rightarrow 2^+}4= 4$

Como el límite por la derecha y el límite por la izquierda existen y son iguales, entonces

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}f(x) = 4$

La función sí tiene límite en el punto

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