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Derivadas ejercicios resueltos paso a paso

Derivadas ejercicios resueltos paso a paso
La función derivada es la que, en cada punto de la abscisa x, asocia a una determinada función f(x), el valor de su variación instantánea. En este apartado vamos a presentar las reglas que seguiremos normalmente para su cálculo.

Reglas de derivación

Si f (x) y g (x) son derivables en el punto Xo , se cumple:

  • La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función
  • La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una de las funciones.
  • La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma del producto de la primera función sin derivación y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivación
  • La derivada de un cociente de dos funciones es la función localizada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivada, todo en la función del denominador cuadrado

Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para la derivación de la composición de dos funciones:

Tabla de derivadas

Derivadas ejercicios resueltos paso a paso

El cálculo de los derivados puede hacerse de dos maneras: utilizando la definición de derivado, que implica un límite que tiende a ser indefinido, o utilizando reglas de derivación, cuyo funcionamiento está garantizado por el análisis matemático.

En primer lugar, las derivadas, cuando existen, determinan la pendiente de la línea tangente a una función f (x). Esta pendiente se conoce también como tipo de cambio y se utiliza para resolver los más variados tipos de problemas matemáticos. Para determinar esta pendiente, se debe calcular el límite a continuación. De esta manera, f '(x) es la derivada de la función f (x) y se dice que f (x) es derivable en el punto p. Para representarla podemos aplicar esta fórmula

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f '(x) = lim f (x) - f (p)
x → p x - p

Las notaciones más utilizadas para el derivado de la función f (x) son: f '(x) o [ f (x)]'. Si estas derivadas se calculan en el punto p, las notaciones se convertirán en: f '(p) o [ f (p)]'.

El cálculo de este límite no es un gran reto para las funciones polinómicas con grados 2 ó 3, porque las propiedades del límite garantizan que la suma de las sumas es igual a la suma de los límites, y por lo tanto, antes del límite de un polinomio, simplemente tenemos que calcular los límites de cada monomio que ha formado el polinomio. Sin embargo, las funciones polinómicas de muy alto grado u otro tipo de funciones imponen un alto grado de dificultad en el cálculo de este límite. Por lo tanto, buscando una mayor agilidad y facilidad en el cálculo de las derivadas, es posible probar los resultados posteriores, generalmente conocidos como propiedades derivadas o reglas de derivación.

Ejemplos

  • f(x) = (5 sen x)´               f´(x) = 5 (sen x)´ =  5 cos x
  • f(x) = x2 + ln x                f´(x) = 2x  +  1/x
  • f(x) = x3 Cos x                f´(x) = ( x3  )´ cos x +  x3 (cos x)´ =  3x2 cosx -  x3 sen x

 

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