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Eliminación de parámetros calculo vectorial

Eliminación de parámetros calculo vectorial
Es una notación científica exacta, que se utiliza para representar ecuaciones matemáticas, que sirven de base para interpretar diferentes situaciones físicas, se construye a partir de cantidades dirigidas llamadas vectores que pueden tomar un rango constante de valores específicos, lo que hace necesarios los métodos de cálculo. Es un método matemático que se centra en el análisis de vectores en dos o más dimensiones y en un conjunto de fórmulas que se utilizan para resolver problemas de ingeniería y física.

Eliminación de parámetros calculo vectorial

  • Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro m:

Primero de todo, hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

Ahora resolvemos el determinante de A mediante la regla de Sarrus, para ver de qué rango es la matriz:

De manera que el resultado del determinante de A depende del valor de m. Por tanto, vamos a ver por qué valores de m se anula el determinante. Para ello, igualamos el resultado a 0:

Y resolvemos la ecuación de segundo grado con la fórmula:

Por lo tanto, cuando m valga 2 o 3, el determinante de A será 0. Y cuando m sea diferente de 2 y diferente de 3, el determinante de A será distinto de 0.

Así que debemos analizar cada caso por separado:

m≠3 y m≠2:

Como acabamos de ver, cuando el parámetro  m  es diferente de 2 y de 3, el determinante de la matriz A es distinto de 0. Por tanto, el rango de A es 3.

Además, el rango de la matriz A’ es 3 también, porque en su interior hay una submatriz 3×3 cuyo determinante es diferente de 0. Y no puede ser de rango 4 ya que no podemos hacer ningún determinante 4×4.

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Entonces, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ y al número de incógnitas del sistema (3), por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD):

Una vez sabemos que el sistema es un Sistema Compatible Determinado (SCD), aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. Para ello recuerda que la matriz A, su determinante y la matriz A’ son:

Para calcular X con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de la matriz A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

Para calcular Y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

Para calcular Z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones para el caso m≠3 y m≠2 es:

Como puedes ver, en este caso la solución del sistema de ecuaciones está en función de  \displaystyle m .

Una vez hemos hallado la solución cuando  \displaystyle m es distinta de 2 y de 3, vamos a resolver el sistema para cuando m es 2:

m=2:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro m es 2. En este caso las matrices A y A’ son:

Como hemos visto antes, cuando m=2 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

Por tanto, en este caso el rango de A es 2:

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Como es un SCI, tenemos que transformar el sistema para resolverlo. Para ello, primero debemos eliminar una ecuación del sistema, en este caso quitaremos la última ecuación:

Ahora convertimos la variable z en λ:

Y ponemos los términos con λ junto con los términos independientes:

Por tanto, la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Para ello, primero resolvemos el determinante de A:

Para calcular X con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

Para calcular Y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

De modo que cuando m=2 la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y por tanto tiene infinitas soluciones:

Cuando m=3 el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’. Así que, a partir del teorema de Rouché-Frobenius, deducimos que el sistema es un Sistema Incompatible (SI):

Por tanto, el sistema de ecuaciones no tiene solución cuando m=3.

Como hemos visto, la solución del sistema de ecuaciones depende del valor del parámetro m. Este es el resumen de todos los casos posibles:

  • m≠3 y m≠2:

  • m=2:

  • m=3:

 \displaystyle \bm{SI} \longrightarrow   El sistema no tiene solución.

 

Aquí hemos hecho todo el proceso mediante el teorema de Rouché y la regla de Cramer.

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