Cómo se obtiene el mínimo común múltiplo

El múltiplo menos común (m. c. m.) de dos o más números es el múltiplo menos común que no sea cero. Para encontrar el múltiplo menos común de dos o más números debemos descomponer el número en factores primos.

Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m.)

A partir de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como el producto de factores primos, su múltiplo menos común será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la máxima potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será

Tomando los factores con su mayor exponente, tenemos que hacerlo:

Conociendo el máximo común divisor de dos números, podemos calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido por su máximo común divisor.

$\operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCD} (a,b)}}$

Propiedades básicas

Si a es un número entero, entonces [a, a] = a
Cuando a y b son números enteros, [a, b] = b si, sólo si b es un múltiplo de a.
(a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.
a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1
a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.
[ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 1
a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0
a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)
Si el producto de dos números se divide por su máximo común divisor, este cociente es el mínimo común múltiplo.
A y B que se descomponen en números primos serán A=(p1-p2)-p3-p4 y B=(p1-p2)-p5-p6 donde si el m.c.d. es (p1-p2) y el producto de A-B=(p1-p2)-p3-p4-(p1-p2)-p5-p6 donde vemos que (p1-p2) se repite dos veces, entonces si dividimos ese total por (p1-p2) tendremos el total menor que contiene A y B siendo su mcm
El múltiplo menos común de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico, ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
El múltiplo menos común de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y su d.c.m. Es evidente a partir de la propiedad 1 de este tema.
El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números.
Sea mZ el conjunto de los múltiplos del número entero m, nZ el del número entero n. Entonces el conjunto nZ∩mZ está formado por los múltiplos comunes de m y n; en otra notación es el conjunto [m,n]Z