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Binomio de newton

Binomio de newton
El teorema del binomio fue descubierto en 1665, fue notificado por primera vez en dos cartas que fueron enviadas por el oficial y administrativo de la Sociedad Real, Henry Oldenburg en 1676. La primera carta fue fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición del filósofo, jurista y matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz, que quería saber sobre el trabajo y la investigación de los matemáticos británicos sobre las series infinitas. Por lo tanto, Newton envía la declaración de su teorema y un ejemplo ilustrativo. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que está ante una técnica general que le permite obtener diferentes resultados sobre cuadraturas, series, etc., y nombra algunas de sus ramificaciones después de las investigaciones de Leibniz. Newton también responde con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la serie de binomios. A partir de este hallazgo, Newton intuyó que era posible operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. Newton nunca publicó el teorema del binomio. El matemático británico, John Wallis, lo hizo en 1685 en su Álgebra, en la que atribuyó a Newton el gran descubrimiento.

Binomio de newton

La fórmula del binomio de Newton sirve para calcular los poderes de un binomio usando números combinatorios.

Desarrollo de (a + b)m

Triangulo de Tartaglia o triángulo de Pascal

Para encontrar los coeficientes del binomio de Newton podemos ayudarnos del triángulo de Tartaglia o del triángulo de Pascal:

 

 

Ejemplo de binomio de Newton

Obtén el polinomio que resulta de desarrollar la expresión (2 + 3x3)4.

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Aplicamos la fórmula del binomio de Newton   (a + b)n.

Donde   a = 2 ,   b = 3x3   y   n =4

Donde los coeficientes marcados en rojo corresponden con los del triángulo de Tartaglia o triángulo de Pascal.

Término general

El término general es el que ocupa el lugar n + 1.

 

Ejemplo de término general

Hallar el octavo término del desarrollo de (3x + 2y)15

 

Calculamos el término octavo utilizando la fórmula para   a = 3x ,   b = 2y ,   n = 7   m =15

El desarrollo del número 15 sobre 7 es el siguiente:

 

Por lo tanto el octavo término se expresa de la siguiente manera:

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