Ecuaciones vectoriales

Para determinar la ecuación vectorial de una línea es necesario conocer un punto de la línea y un vector de posición o dos puntos de la línea. Encontraremos la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tenemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición. La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta.

Ecuaciones vectoriales

El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas que estudia los sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Está relacionada con áreas como la ingeniería, la resolución de ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la investigación de operaciones, los gráficos por ordenador, entre otros.

Otra área que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de ella se ha podido desarrollar el estudio de los fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha hecho posible una mejor comprensión del universo.

Fundamentos

El álgebra de vectores se originó a partir del estudio de los cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j y k, así como de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían como herramienta para representar diversos fenómenos físicos.

El álgebra de vectores se estudia a través de tres fundamentos:

Geométricamente

Los vectores están representados por líneas que tienen una orientación, y operaciones como la suma, la resta y la multiplicación por números reales se definen mediante métodos geométricos.

Analíticamente

La descripción de los vectores y sus operaciones se hace con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es el resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.

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Axiomáticamente

Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.

El estudio de las figuras en el espacio se realiza mediante su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se encuentran:

Sistema unidimensional, que es una línea donde un punto (O) representa el origen y otro punto (P) determina la escala (longitud) y la dirección del mismo:

Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional), que se compone de dos líneas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que atraviesan el origen de un punto (O); así el plano se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este caso un punto (P) del plano viene dado por las distancias entre los ejes y P.

Sistema de coordenadas polares (bidimensional). En este caso el sistema está compuesto por un punto O (origen) que se llama polo y un rayo con origen en O llamado eje polar. En este caso el punto P del plano, con referencia al polo y al eje polar, viene dado por el ángulo (Ɵ), que está formado por la distancia entre el origen y el punto P.

Sistema rectangular tridimensional, formado por tres líneas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos de coordenadas: xy, xz e yz; el espacio se dividirá en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un punto P en el espacio viene dada por las distancias entre los planos y P.