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Monotonía de una función

Monotonía de una función
En matemáticas, se dice que una función entre conjuntos ordenados es monótona (o isotónica) si mantiene el orden dado. Las funciones de este tipo surgieron primero en el cálculo y luego se generalizaron al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos coinciden en general, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras que en el cálculo se habla de funciones monótonas crecientes y monótonas decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se utilizan los términos monótono y antítono, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

Monotonía de una función

Una función   f(x)   es estrictamente decreciente en un intervalo   (a, b)   si para dos valores cualesquiera del intervalo   x1   y   x2   tales que   x1 < x2 , se cumple que   f(x1) > f(x2) .

Decir que   f(x1) > f(x2)   es lo mismo que :

Será creciente si   f(x1) ≥ f(x2)  , es decir:

 

Una función es decreciente si al aumentar la  'x' disminuye la 'y' .

Ejemplo de función estrictamente creciente

f(x) = 1/x

 

Es estrictamente decreciente en   [0 , ∞) , ya que para dos puntos cualesquiera   x1   y   x2   en dicho intervalo obtenemos que:

Ya que el denominador es siempre positivo.

 

Es estrictamente decreciente en   [-∞ , 0] . La demostración es la misma que en el caso anterior.

Decrecimiento de una función en un punto

Una función   f(x)   es estrictamente decreciente en un punto de abscisa   x   si existe un entorno simétrico de   x   en el que la función es estrictamente decreciente. Es decir:

 

Una función   f(x)   es decreciente en un punto de abscisa   x   si existe un entorno simétrico de   x   en el que la función es decreciente. Es decir:

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Ejemplo de crecimiento y decrecimiento de una función

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

f(x) = x3 - 3x + 2

•   (-∞ , - 1):   la función es estrictamente creciente.

Es decir, al aumentar la x, aumenta la y .

•   (- 1 , 1):   la función es estrictamente decreciente.

Es decir, al aumentar la x, disminuye la y .

•   (1 , ∞):   la función es estrictamente creciente.

Es decir, al aumentar la x, aumenta la y .

 

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