Potencia de un punto

En geometría, la potencia de expresión de un punto con respecto a un círculo se refiere al valor constante resultante de multiplicar las longitudes de dos segmentos definidos en la misma línea que pasa por ese punto y es secante o tangente a ese círculo. Los segmentos se definen uniendo ese punto con los dos puntos de intersección en el caso de la recta secante o el mismo punto de la tangente en el caso de la recta tangente. Más precisamente, si P es un punto del plano y se fija un círculo con centro O, entonces para cualquier línea que pase por P y corte el círculo en dos puntos A, B, se cumple que PA-PB es constante, independientemente de la posición de la línea. El valor de esta constante se llama la potencia del punto P. El término potencia para referirse a este concepto geométrico fue introducido por Jakob Steiner en su artículo de 1826 titulado Einige geometrische Betrachtungen («Algunas observaciones geométricas»), aunque el teorema ya estaba en los Elementos de Euclides.

Potencia de un punto

El concepto de la potencia de un punto con respecto a un círculo nos permite relacionar las nociones estudiadas en los teoremas de Tales y Pitágoras y es la puerta para el estudio de los problemas de tangencias y transformaciones como la inversión.

Utilizaremos los conceptos de arco capaz sobre un segmento en nuestras demostraciones, por lo que se sugiere revisarlos.

Este concepto se basa en el producto de dos segmentos y, como veremos más adelante, permite determinar algunos lugares geométricos de gran importancia como el eje radical de dos círculos.

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Definición de potencia

La primera definición de potencia se basa en la determinación de la distancia máxima y mínima a un círculo y la obtención de su producto métrico.

La potencia W de un punto P con respecto a un círculo c es el producto de la mayor por la menor distancia del punto P al círculo c.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

En la figura vemos que la potencia del punto P con respecto a la circunferencia es el producto de los segmentos "m" y "n", distancia mínima y máxima del punto a la circunferencia. Estos segmentos están en el diámetro del círculo que contiene el punto P.

Relaciones métricas de la Potencia

Podemos relacionar métricamente el concepto básico de potencia con respecto a un círculo, por medio del teorema de Pitágoras, con el segmento de tangencia obtenido del punto al círculo.

La potencia de un punto P con respecto a un círculo es igual a la diferencia de cuadrados entre la distancia del punto P al centro C del círculo y el radio R del mismo; también al cuadrado del segmento de tangencia PT si P está fuera.

Si consideramos que el segmento "m" es igual a la distancia "d" del punto "P" al centro "C" del círculo "c", menos el radio "R" del mismo (d-R), y que el segmento "n" es la suma de "d" y "R" (d+R) tendremos que:

Como la suma de dos variables multiplicada por la diferencia es la diferencia de sus cuadrados, vemos que la potencia "W" es igual a la diferencia de los cuadrados de la distancia "d" y el radio "R" de la circunferencia. Esta expresión nos recuerda el cateto de un triángulo rectángulo cuyo cuadrado es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y el otro cateto (lado l).

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Si el punto P está dentro de la circunferencia, el segmento tangente no existirá, pero podemos establecer igualmente la relación con los lados de un triángulo pitagórico.

La potencia de un punto P con respecto a un círculo es igual a la diferencia en cuadrados de la distancia del punto P al centro C del círculo y al radio R del círculo y también al cuadrado del segmento de media cuerda PT perpendicular a PC si P está dentro.