Método de inducción
El método de inducción matemática conlleva la posibilidad de probar ciertas proposiciones cuyas variables corren a través del conjunto N de todos los números naturales. Las pruebas toman como pivote demostrativo el principio de inducción completa. Razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de una variable en la que toma una infinidad de valores enteros no negativos.
Este principio sirve para demostrar las propiedades que se cumplen para un conjunto numerable de objetos (Un conjunto A es numerable si hay una bi-sección de A en el conjunto de números naturales). ) Generalmente, la notación A(n), B(n), C(n), P (n), ... se utiliza para denotar estas propiedades.
Principio
El principio de inducción completa, en el que se basa el método del mismo nombre, consiste en
1ro. Para probar que la propiedad se satisface para un primer número natural (P (a) es cierto para una pertenencia a N).
2º. Para probar que siempre que cualquier número natural satisface la propiedad, su sucesor también la satisface (de P (k) se deduce P (k+1)).
Ejemplo de Método de inducción
Demuestra por inducción completa que para todos los números naturales se cumple n: 0 + 2 + 4 +...+ 2n = n(n + 1). Sea S(n) = 0 + 2 + 4 +...+ 2n. Debe probarse que S(n) = n(n + 1).
- Inicio de la inducción: Para n = 0: S (0) = 0(0 + 1) = 0 La propiedad es verdadera para n = 0.
- Hipótesis de inducción: Para n = k : 0 + 2 + 4 +...+ 2k = k(k + 1).
- Tesis de inducción: Para n = k +1: 0 + 2 + 4 +...+ 2(k+1) = (k + 1)(k + 2).
- Demostración de la tesis de inducción: Hay que demostrar que S (k)= k(k + 1) => S (k+1)= (k + 1)(k + 2) Partiendo de la hipótesis 0 + 2 + 4 +...+ 2k = k(k + 1) Añadamos el término 2(k + 1) a los dos miembros de la igualdad: 0 + 2 + 4 +... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) Debemos analizar si en el miembro derecho la expresión k(k + 1) + 2(k + 1)es la misma que (k + 1)(k + 2) 0 + 2 + 4 +... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 0 + 2 + 4 +...+2k+ 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) extrayendo el factor común (k + 1) Entonces, la propiedad se cumple para todos los n que pertenecen a N.
