Definición de integral indefinida
La integración es el proceso recíproco de derivación, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, pues, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); en otras palabras, las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:
F'(x) = f(x).
Si una función f(x) tiene una primitiva, tiene infinitas primitivas, todas ellas diferenciadas en una constante.
F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee como "la integral indefinida de f(x) con respecto a x". Por lo tanto, f(x) dx es un conjunto de funciones; no es una función única, ni un número.
La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integración.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) debe serlo:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
El producto integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
Aplicaciones de la integral indefinida
Con una integral se pueden calcular magnitudes tan diversas como áreas, volúmenes, longitudes de curvas, el trabajo realizado por una fuerza, la masa de un sólido, momentos de inercia, el campo eléctrico, el flujo de un fluido a través de una superficie y muchas más. Es notable, sin embargo, que la forma de proceder es casi siempre la misma, y consiste en expresar el valor exacto de la magnitud a calcular como límite de las sumas de Riemann, para deducir, de ellas, la integral cuyo cálculo proporciona la solución del problema.
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