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Teorema del resto

Teorema del resto
El teorema del resto dice: Si dividimos un polinomio P(x) por el binomio (x-a), el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio P(a).

Teorema del resto

Este teorema es importante porque nos permite encontrar el resto de la división, sin efectuarla.

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

“Consideramos el polinomio P(x)=2x3-5x+3 evaluar el polinomio en 1 consiste en sustituir la indeterminada por 1 (x=1) quedando P(1)=2·13-5·1+3=2-5+3=0.”

El valor que se obtiene al evaluar un polinomio en x=a coincide con el resto de dividir ese polinomio por x-a.

Si dividimos un polinomio P(x) por x-a se obtendrá un cociente C(x) y un resto r.

En toda división el dividendo P(x) es igual al divisor x-a por el cociente C(x) más el resto r , es decir, P(x)=(x-a)-C(x) + r.

Al evaluar el polinomio en el punto se tiene

P(a)=(a-a)-C(a) + r , como a-a =0 entonces P(a) = r

Gracias a este teorema podemos usar la regla de Ruffini para evaluar un polinomio en un punto.

División de Polinomios

Al dividir un polinomio P(x) por (x-a) el resto es siempre de grado cero y se obtiene un cociente C(x) que verifica:

P(x)=(x-a)-C(x)+resto

Si ahora reemplazamos la X por la A,

P(a) = (a-a)- C(a) + resto

Por lo tanto, en la igualdad anterior (a-a)=0,

valor numérico de P en a = resto

Este resultado se conoce como el teorema del descanso

Así que el valor numérico P(x) en a será cero cuando P(x) sea divisible por (x-a), es decir, el resto de P(x) por x-a es cero, en este caso decimos que a es la raíz del polinomio P(x).

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El teorema puede aplicarse para calcular algunos valores numéricos.

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